El método de rectángulos (suma de Riemann)

¿Que es?

Consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

La Suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. 

Para una función en un intervalo [ a,b ] Si f es continua en [a,b] y f(x) ≥ 0 en [a,b] está área A bajo la curva y = f(x) en [a,b] está dada por: 

Ejemplo:

= (1.4) + (3.24) + (4.84) + (6.76) + (9) = 25.74

Derecho 

f (1.4) = 1.96

f (1.8) = 3.24

f (2.2) = 4.84

f (2.6) =  6.74

f (3) =  9 

Aproximación de gráfica 

Área bajo la curva de la función g(x) 

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

¿Que es?

El método de integración por partes consiste en descomponer la integral en producto de dos términos a los que llamaremos "u" y "dv" y aplicar la fórmula:

Como es lógico, para que este método funcione, la nueva integral debe ser más fácil de resolver que la inicial, por tanto, al elegir las partes hemos de tener en cuenta que:

·                     Lo que llame dv, hay que saberlo integrar.

·                     Lo que llame u, tiene que quedar más simple una vez derivado.

Este método se utiliza cuando en una integral aparece el producto de un polinomio por una exponencial o una función trigonométrica, aunque puede utilizarse en otros muchos casos.

En ocasiones es necesario aplicar este método varias veces para resolver completamente la integral, pues puede que la nueva integral también haya que resolverla por partes.

Ejemplo:

SOLUCIÓN En esta integral no tenemos un producto explícito de funciones, pero como no sabemos cuál es la primitiva del logaritmo, lo que hacemos es derivarlo, es decir, u = ln (x)

Ejemplo:

∫x sen xdx

U= x

Dv= sen xdx

Du= dx

V=∫ du= ∫senxdx = cos

∫udu=  uv - ∫ vdu

∫ xsenxdx = x (-cosx) - ∫ (-cosx) dx

= -x cosx + ∫cos xdx

= - x cosx + senx + c

http://matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm http://es.slideshare.net/vanekko/mtodo-de-integracin-por-partes-3893033 https://www.youtube.com/watch?v=CavjhBTYma8

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

¿Qué es?

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una cantidad equivalente en términos de otra(s) variable(s) de manera que el número total de incógnitas se reduzca a 1. 

Ejemplo:

x + y = 3 (1)

y

x - y = 1 (2)

primero podemos obtener x en términos de y utilizando la ecuación (1):

x = 3 - y (3)

Después, sustituimos x con (3 - y) en la ecuación (2):

(3 - y) - y = 1 (4)

3 - 2y = 1

3 - 1 = 2y

2 = 2y

y = 1

Como se muestra, reducimos el número de variables en la ecuación (2) de 2 a 1 utilizando el método de sustitución. El resultado es que obtenemos una nueva ecuación con sólo una variable. Por lo tanto, podemos resolver para y. Después, sustituimos y = 1 de nuevo en la ecuación (1) para resolver para x:

x + 1 = 3

x = 2

Ejemplo:

U = cambia de variable

U= 8x + 3

Du ∕ dx = d / dx (8x+3) = 8

∫ u˄2 du / 8                     du = 8

                                          Du / 8 = dx

= 1 / 8 ∫u˄2du = 1/8 (u˄3/3) + c

= 1/ 24 u˄3 + c

= 1/24 (8x+3) ˄3 + c

http://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/reso.html
http://www.sangakoo.com/es/temas/metodo-de-sustitucion

CALCULO DIFERENCIAL Y SU RELACION CON LA DERIVADA

La derivada de una función para un valor particular de su variable. El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. 

Podemos así construir, a partir de la función original, una nueva función que me dará el resultado de la derivada de la función original para cada valor de su variable.

http://es.slideshare.net/pacomtzye/relacion-entre-derivada-e-integral